1861年设立的总理衙门职能是：

正确答案：C

花生十三讲解

本题用关键词定位+排除法。1861年设立的总理各国事务衙门的职能：办理对外交涉（外交）及通商、关税、洋务新政（派遣留学生、兴办近代事业）等事务，是中国近代第一个正式外交机构，1901年改为外务部。排除：A漕运由漕运总督管理；B科举由礼部主持；D宗人事务由宗人府掌管，均非总理衙门职能。确认答案为C。

原解析

总理衙门（总理各国事务衙门）设立于1861年，是清政府为应对西方列强而设的专门机构，主管外交、通商、关税等洋务事宜，故职能为办理洋务与外交事务。A项仅提通商外交，不全面；B、D项非其职能。